cho 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)(a,b,c,c ∈ Z,b>0,d>0). chứng minh ad <bc khi và chỉ khi \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
7 tháng 7 2017
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
HT
17 tháng 6 2016
- Chứng minh thuận:
Nhân 2 vế của a/b với d, nhân 2 vế của c/d với b rồi so sánh
- Chứng minh đảo: Hơi khó giải thích...
Cộng ad với bd và bc với bd....
18 tháng 6 2016
Có gì mà loằng ngoằng vậy.
1./ Thuận: Nếu: \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)nhân cả 2 vế BĐT với tích bd >0 (vì b>0; d>0) BĐT không đổi chiều, ta có: \(\frac{a}{b}\cdot bd>\frac{c}{d}\cdot bd\Rightarrow a\cdot d>b\cdot c\)đpcm
2./ Nghịch: Nếu \(a\cdot d>b\cdot c\)chia cả 2 vế BĐT với tích bd >0 (vì b>0; d>0) BĐT không đổi chiều, ta có: \(\frac{a\cdot d}{b\cdot d}>\frac{b\cdot c}{b\cdot d}\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)đpcm
CM
20 tháng 3 2017
Nếu ad < bc => a d b d < b c b d = > a b < c d
Ngược lại nếu a b < c d = > a b . b d < c d . b d = > a d < b c
19 tháng 6 2019
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0 Đ
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên S
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm S
d) 0 là số hữu tỉ dương S
19 tháng 6 2019
a/b < c/d => ad < cb
=> ad + ab < bc + ab
=> a ( d+b) < b ( a +c)
=> a/b < a+ c/d +b (1)
* a/b < c/d => ad < cb
=> ad + cd < cb + cd
=> d ( a +c) < c ( b+d)
=> c/d > a + c/b + d (2)
Từ (1) và (2) => a/b < a+c/b + d < c/d
16 tháng 6 2016
a) \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\) (quy đồng mẫu chung)
Vì b,d > 0 nên bd > 0. Do đó ad < bc (đpcm)
b) ad < bc \(\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\) (cùng chia cho bd)
Vì b,d > 0 nên bd > 0. Do đó \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (rút gọn tử và mẫu)
16 tháng 6 2016
a, Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cb}{db}\Rightarrow ad< cb\)
b, Ta có: \(ad< bc\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
27 tháng 8 2018
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=k\Rightarrow a=bk\\\frac{c}{d}=q\Rightarrow c=dq\end{cases}}\)
a) Thay a và c vào biểu thức ta có :
\(\frac{bk}{b}< \frac{dq}{d}\Rightarrow k< q\)
=> ad ... bc
=> bkd ... bdq
=> k ... q
=> k < q
=> đpcm
b) tương tự thay a và c vào
21 tháng 6 2017
- Ta có trên trục số 2 điểm A và B lần lượt là : \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\)
mà trên trục số \(\frac{a}{b}\)nằm bên trái \(\frac{c}{d}\)=) \(\frac{a}{b}< \frac{d}{c}\)
- Như ta đã biết : Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=) \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
- Mà kí hiệu \(\frac{a+c}{b+d}\)là C
Vậy ta luôn có \(C\)nằm giữa \(A,B\)=) Trên trục số,giữa 2 điểm biểu diễn 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{c}{d}\)luôn tồn tại 1 điểm biểu diễn số hữu tỉ khác ( ĐPCM )
DL
15 tháng 4 2020
có ai trả lời hộ mình câu hỏi này ở trong trang cá nhân của mình ko
HP
6 tháng 7 2016
\(a,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}=>ad< bc\left(đpcm\right)\)
\(b,ad< bc=>\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}=>\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)
\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)
=> \(\frac{ad}{bd}\)<\(\frac{bc}{bd}\)(tích chéo)
=> ad<bc(điều phải chứng minh)
t.i.c.k cho a nha
a) ta có \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd}\)cả tử và mẫu với d >0
\(\frac{c}{d}=\frac{cb}{bd}\)cả tử và mẫu với b >0
vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)nên \(\frac{ab}{bd}< bc,db\Rightarrow ad< bc\)vì tích bd >0